Standardabweichung berechnen

Standardabweichung einer Zahlenreihe berechnen

Wie berechnet man die Standardabweichung?

In der Welt der Statistik und Datenanalyse spielt die Standardabweichung eine entscheidende Rolle. Es handelt sich dabei um ein Maß für die Streuung oder Variation einer Reihe von Werten. Aber was bedeutet das eigentlich, wie wird es berechnet, und wie hängt es mit anderen wichtigen statistischen Konzepten wie dem Mittelwert, dem Median, dem Modus, dem Bereich und der Varianz zusammen? Lassen Sie uns das genauer betrachten.

Was ist die Standardabweichung?

Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie sehr einzelne Werte von dem Mittelwert einer Gruppe von Werten abweichen. Mit anderen Worten, es gibt Aufschluss über die Verteilung der Daten. Eine niedrige Standardabweichung bedeutet, dass die Werte nahe am Mittelwert liegen, während eine hohe Standardabweichung darauf hinweist, dass die Werte über einen größeren Bereich verteilt sind.

Berechnung der Standardabweichung

Die Standardabweichung wird in einem fünfstufigen Prozess berechnet:

1. Berechnen Sie den Mittelwert der Datenreihe.
2. Ziehen Sie den Mittelwert von jedem Datenpunkt ab und quadrieren Sie das Ergebnis (die Differenz).
3. Summieren Sie all diese quadrierten Differenzen.
4. Teilen Sie die Summe der quadrierten Differenzen durch die Anzahl der Werte in der Datenreihe, um die Varianz zu erhalten.
5. Ziehen Sie die Quadratwurzel aus der Varianz, um die Standardabweichung zu erhalten.

Lassen Sie uns das anhand eines Beispiels verdeutlichen. Nehmen wir an, wir haben die folgende Datenreihe: 4, 8, 6, 5, 3, 2, 8, 9, 2, 5

1. Der Mittelwert ist (4+8+6+5+3+2+8+9+2+5)/10 = 5,2
2. Die quadrierten Differenzen sind: (4-5,2)², (8-5,2)², ..., (5-5,2)²
3. Die Summe dieser quadrierten Differenzen beträgt 52
4. Die Varianz ist 52/9 = 5,78
5. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel von 5,78, also etwa 2,40.

Standardabweichung vs. andere statistische Konzepte

Mittelwert: Der Mittelwert oder Durchschnitt ist die Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Werte. In unserem Beispiel war der Mittelwert 5,2. Der Mittelwert gibt einen zentralen Wert für die Datenreihe an, gibt jedoch keine Informationen darüber, wie die Daten diesen Mittelpunkt umgeben.

Median: Der Median ist der mittlere Wert in einer sortierten Datenreihe. Wenn die Anzahl der Werte gerade ist, ist der Median der Durchschnitt der beiden mittleren Werte. In unserem Beispiel, indem wir die Werte sortieren, erhalten wir 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 8, 9, und der Median ist 5. Der Median ist auch ein Maß für die zentrale Tendenz, ist aber nicht anfällig für Ausreißer.

Modus: Der Modus ist der häufigste Wert in einer Datenreihe. In unserem Beispiel gibt es zwei Modi: 2 und 5, da jeder von ihnen zweimal vorkommt. Der Modus gibt den häufigsten Wert an, bietet jedoch nicht unbedingt ein Bild des zentralen Werts oder der Verteilung der Daten.

Bereich: Der Bereich ist die Differenz zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Wert der Datenreihe. In unserem Beispiel beträgt der Bereich 9-2 = 7. Der Bereich gibt einen Hinweis auf die Streuung, ist jedoch anfällig für Ausreißer.

Varianz: Die Varianz, die bei der Berechnung der Standardabweichung verwendet wird, ist der Durchschnitt der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert. Sie gibt einen Hinweis darauf, wie die Werte sich um den Mittelwert verteilen, aber weil sie quadrierte Werte verwendet, ist sie nicht in den Einheiten der ursprünglichen Daten.

Wie man sehen kann, bietet jedes dieser statistischen Konzepte einen etwas anderen Blick auf die Daten, und die Standardabweichung ist ein besonders nützliches Tool, um die Streuung der Daten zu verstehen. Die kombinierte Verwendung dieser Konzepte kann zu einer viel reicheren und nuancierteren Interpretation der Daten führen.