Primzahlen berechnen
Ist diese Zahl eine Primzahl?
Was sind Primzahlen?
Primzahlen sind ein grundlegendes Konzept in der Zahlentheorie, einem Zweig der Mathematik. Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die keine positiven Teiler hat, außer 1 und sich selbst. Die ersten Primzahlen sind daher 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 und so weiter.
Eigenschaften und Theorien im Zusammenhang mit Primzahlen
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Fundamentalsatz der Arithmetik: Dieser Satz besagt, dass jede Zahl größer als 1 eindeutig als Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann. Dies wird auch Primfaktorzerlegung einer Zahl genannt.
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Primzahlen sind unbegrenzt: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Dies wurde von dem antiken griechischen Mathematiker Euklid vor über zwei Jahrtausenden bewiesen.
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Verteilung von Primzahlen: Der "Primzahlsatz" gibt einen Einblick, wie Primzahlen verteilt sind. Er besagt, dass, je größer die Zahlen werden, die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl prim ist, ungefähr umgekehrt proportional zur Anzahl der Ziffern in dieser Zahl ist.
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Zwillingsprimzahlen: Dies sind Paare von Primzahlen, die genau zwei Zahlen auseinander liegen, wie (11, 13) oder (17, 19). Es ist eine offene Frage, ob es unendlich viele dieser Paare gibt.
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Kryptographie: Primzahlen spielen eine entscheidende Rolle in der modernen Kryptographie. Das RSA-Verfahren, eines der ersten praktisch einsetzbaren Public-Key-Kryptosysteme, basiert beispielsweise auf der Schwierigkeit, das Produkt zweier großer Primzahlen zu faktorisieren.
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Mersenne-Primzahlen: Das sind Primzahlen, die um eins kleiner sind als eine Zweierpotenz. Sie sind nach dem französischen Mönch Marin Mersenne benannt, der das Studium dieser Zahlen im frühen 17. Jahrhundert förderte.
Obwohl Primzahlen einfach zu definieren sind, sind sie in ihrem Verhalten und ihrer Verteilung unglaublich komplex, und viele Fragen zu Primzahlen bleiben in der Mathematik unbeantwortet. Große Preise stehen denen zur Verfügung, die bestimmte Probleme im Zusammenhang mit Primzahlen lösen können, wie den Beweis der Riemann-Hypothese, die die Verteilung der Primzahlen beschreibt.