Calculer des nombres premiers

Ce nombre est-il un nombre premier ?

Qu'est-ce que les nombres premiers ?

Les nombres premiers sont un concept fondamental en théorie des nombres, une branche des mathématiques. Un nombre premier est un nombre naturel supérieur à 1 qui n'a pas d'autres diviseurs positifs que 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont donc 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, et ainsi de suite.

Propriétés et théories liées aux nombres premiers

• Théorème fondamental de l'arithmétique : Ce théorème énonce que tout nombre supérieur à 1 peut être écrit de manière unique comme un produit de nombres premiers. C'est ce qu'on appelle la factorisation en nombres premiers.
• Les nombres premiers sont illimités : Il existe une infinité de nombres premiers. Ceci a été prouvé par le mathématicien grec ancien Euclide il y a plus de deux millénaires.
• Distribution des nombres premiers : Le "Théorème des nombres premiers" donne une idée de la distribution des nombres premiers. Il dit qu'à mesure que les nombres augmentent, la probabilité qu'un nombre choisi au hasard soit premier est approximativement inversement proportionnelle au nombre de chiffres de ce nombre.
• Nombres premiers jumeaux : Ce sont des paires de nombres premiers qui diffèrent exactement de deux, comme (11, 13) ou (17, 19). Il est toujours une question ouverte de savoir s'il existe un nombre infini de ces paires.
• Cryptographie : Les nombres premiers jouent un rôle crucial dans la cryptographie moderne. L'algorithme RSA, l'un des premiers systèmes de cryptographie à clé publique réellement utilisables, repose par exemple sur la difficulté de factoriser le produit de deux grands nombres premiers.
• Nombres premiers de Mersenne : Ce sont des nombres premiers qui sont inférieurs d'une unité à une puissance de deux. Ils sont nommés d'après le moine français Marin Mersenne, qui a stimulé l'étude de ces nombres au début du 17e siècle.

Bien que les nombres premiers soient simples à définir, ils sont incroyablement complexes dans leur comportement et leur distribution, et de nombreuses questions sur les nombres premiers restent sans réponse en mathématiques. De grands prix sont offerts à ceux qui peuvent résoudre certains problèmes relatifs aux nombres premiers, comme la preuve de l'hypothèse de Riemann, qui décrit la distribution des nombres premiers.