Calculer des dérivées

Calculez la dérivée d'une fonction

Le calcul des dérivées

La dérivée d'une fonction est un concept fondamental en calcul et a de nombreuses applications en science, ingénierie et autres domaines. Elle offre une perspective sur la vitesse de changement d'une fonction et peut être utilisée pour comprendre et prédire le comportement des fonctions.

Qu'est-ce qu'une dérivée ?

Imaginez une courbe lisse sur un graphique, représentant une fonction f ( x ) f(x). La dérivée de f f à un point donné représente la pente de la tangente à cette courbe à ce point. En termes formels, si nous considérons un petit changement de x x, appelé Δ x Δx, alors le changement dans f ( x ) f(x), Δ f Δf, est donné par f ( x + Δ x ) − f ( x ) f(x+Δx)−f(x). Le ratio Δ f / Δ x Δf/Δx donne la vitesse moyenne de changement sur l'intervalle Δ x Δx. La dérivée, f ′ ( x ) f ′ (x), est la limite de ce ratio lorsque Δ x Δx tend vers zéro.

Mathématiquement, cela est exprimé comme :
f ′ (x)=lim Δx→0 ​ Δx f(x+Δx)−f(x)

Règles de base pour les dérivées

Il existe quelques règles de base pour calculer les dérivées que chaque étudiant en calcul devrait connaître :

1. Règle constante : La dérivée d'une constante est zéro. Si \(f(x) = c\), où \(c\) est une constante, alors \(f'(x) = 0\).
2. Règle de puissance : Pour toute valeur réelle de \(n\), la dérivée de \(f(x) = x^n\) est \(f'(x) = nx^{n-1}\).
3. Règle de la somme : La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. Si \(f(x) = g(x) + h(x)\), alors \(f'(x) = g'(x) + h'(x)\).
4. Règle du produit : Si \(f(x) = g(x) \times h(x)\), alors \(f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)\).
5. Règle de la chaîne : Si \(f(x) = g(h(x))\), alors \(f'(x) = g'(h(x)) \times h'(x)\).

Applications des dérivées

Les dérivées ont de nombreuses applications :

1. Physique : En physique, la dérivée est utilisée pour calculer les vitesses et les accélérations. Par exemple, la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps.
2. Économie : En économie, les dérivées peuvent être utilisées pour calculer le coût marginal ou le revenu marginal, qui indiquent respectivement le changement dans le coût total ou le revenu total pour une augmentation unitaire de la production.
3. Biologie : En biologie, les dérivées peuvent être utilisées pour modéliser les taux de croissance des populations.
4. Ingénierie : En ingénierie, les dérivées sont utilisées dans une large gamme d'applications, de la conception des ponts à la modélisation des circuits électriques.

Conclusion

Le concept de dérivée est l'un des piliers du calcul et a des implications profondes dans divers domaines scientifiques et techniques. En comprenant la vitesse de changement des fonctions, nous pouvons comprendre les systèmes sous-jacents que ces fonctions décrivent et prendre de meilleures décisions et prévisions basées sur ces compréhensions.