Türev Hesapla

Fonksiyonun türevini hesapla

Türev Hesaplama

Bir fonksiyonun türevi, diferansiyel hesabın temel bir kavramıdır ve bilim, mühendislik ve birçok diğer alanda uygulama bulur. Bir fonksiyonun değişim hızını bize gösterir ve bir fonksiyonun davranışını anlamak ve tahmin etmek için kullanılabilir.

Türev nedir?

f ( x ) fonksiyonunu temsil eden bir grafikte düzgün bir eğriyi hayal edin. f 'in belirli bir noktadaki türevi, bu noktada bu eğriye teğet olan eğimin değeridir. Formel olarak, Δ x olarak adlandırılan küçük bir x değişikliği göz önüne alındığında, f ( x ) değişikliği, f ( x + Δ x ) − f ( x ) ile verilir. Δ f / Δ x oranı, Δ x süresince ortalama değişim hızını temsil eder. Türev, f ′ ( x ) , bu oranın Δ x sıfıra yaklaştığında aldığı değerdir.

Matematiksel olarak şöyle ifade edilir:
f′(x)=lim Δx→0 ​ Δx f(x+Δx)−f(x)

Farklılaştırma temel kuralları

Türev alma kurallarının bazı temel kuralları vardır ve her diferansiyel hesap öğrencisinin bu kuralları bilmesi gerekir:

1. Sabit Kuralı: Bir sabitin türevi sıfırdır. Eğer \(f(x) = c\) ise, burada \(c\) bir sabittir, o zaman \(f'(x) = 0\).
2. Kuvvet Kuralı: Herhangi bir gerçek sayı \(n\) için, \(f(x) = x^n\) fonksiyonunun türevi \(f'(x) = nx^{n-1}\) olur.
3. Toplam Kuralı: Toplamanın türevi türevlerin toplamıdır. Eğer \(f(x) = g(x) + h(x)\) ise, o zaman \(f'(x) = g'(x) + h'(x)\).
4. Çarpım Kuralı: Eğer \(f(x) = g(x) \times h(x)\) ise, o zaman \(f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)\).
5. Zincir Kuralı: Eğer \(f(x) = g(h(x))\) ise, o zaman \(f'(x) = g'(h(x)) \times h'(x)\).

Türevlerin uygulamaları

Türevlerin birçok uygulaması vardır:

1. Fizik: Fizikte türevler, hız ve ivmeyi hesaplamak için kullanılır. Örneğin, hız zamanla konumun türevidir.
2. Ekonomi: Ekonomide türevler, marjinal maliyeti veya marjinal geliri hesaplamak için kullanılabilir, bu da üretimdeki ek bir birim için toplam maliyetteki veya toplam gelirdeki değişimi temsil eder.
3. Biyoloji: Biyolojide türevler popülasyon artış hızını modellemek için kullanılabilir.
4. Mühendislik: Mühendislikte türevler, köprü inşasından elektrik devrelerini modellemeye kadar çeşitli uygulamalarda kullanılır.

Özet

Farklılaştırma kavramı, diferansiyel hesabın temel taşlarından biridir ve bilimsel ve teknik birçok alanda derin etkilere sahiptir. Bir fonksiyonun değişim hızını anlayarak, bu fonksiyonları tanımlayan sistemleri daha iyi anlayabilir ve bu bilgiye dayanarak daha iyi kararlar ve tahminler yapabiliriz.